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解讀中美數學奧賽並列第一,敬請期待對話美國隊總教練 | 袁嵐峰


風雲之聲導讀美國隊總教練羅博深跟我說的非常有趣的一點,就是個人奪金與國家奪冠之間的關係。如果你只想拿塊金牌的話,那麼你做五道題就夠了。為了集體奪冠,就需要在做完五道題後還去竭盡全力...

- 2019年7月21日19時33分
- 科學文摘 / 風雲之聲

風雲之聲

導讀

美國隊總教練羅博深跟我說的非常有趣的一點,就是個人奪金與國家奪冠之間的關係。如果你只想拿塊金牌的話,那麼你做五道題就夠了。為了集體奪冠,就需要在做完五道題後還去竭盡全力做最難的。今年的中美並列第一,是雙方的能力、技巧、鬥志旗鼓相當的結果。

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2019年7月20日,第60屆國際數學奧林匹克競賽(International Mathematical Olympiad,簡稱IMO)的成績公布了。出現了最富有戲劇性的結果:中國隊和美國隊並列第一!

2019年國際數學奧林匹克競賽中國隊合影

2019年國際數學奧林匹克競賽美國隊合影

上一次出現並列第一,還是在整整20年前的1999年,當時是中國隊和俄羅斯隊並列第一。再往前,並列第一就只有一次了,是1986年的美國隊和蘇聯隊。

這次的冠軍對許多中國人堪稱一場及時雨,因為中國隊上一次得到第一還是在2014年(http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=CHN),已經連續四年沒拿到第一了。

在2015年至2018年,中國隊拿了兩次第二、兩次第三。其實也都是很好的成績,但總是差這麼一點,難免有些遺憾。當你再注意到,中國隊在以前創造過四連冠甚至五連冠的驚人佳績,你就更會感到連續四年沒得第一是個顯著的下降了。再加上教育部對所謂「素質教育」的推崇、對奧數培訓的打壓,近年來,奧數成了中國輿論場上的一個熱門話題。因此,這次重返冠軍,令大家格外欣慰。


中國隊在國際數學奧林匹克競賽的排名歷史(橫軸是競賽的屆數。第一屆在1959年,此後除1980年外,每年都舉辦一屆,2019年是第60屆。黃色:參賽國的數量;黑色:反轉的排名,位置越高表示排名越高)

再來看美國隊,它也是IMO的一支傳統強隊,不過拿第一的次數比中國隊少得多(http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USA)。美國隊從1974年參賽以來,包括這次在內總共得過8次冠軍。而中國隊參賽比美國隊晚了11年,從1985年才開始參賽,卻得到了20次冠軍!因此可以說,中國隊在開始參賽之後,就成了IMO的頭號主角。

美國隊在國際數學奧林匹克競賽的排名歷史

在中國隊參賽之前,成績最好的是蘇聯隊(http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USS),他們從1959年開始參賽到1991年國家解體,一共拿了13次第一,其中從1963年到1967年更是創造了五連冠的偉業。甚至在1991年,蘇聯解體的那一年,他們還拿到了最後一次冠軍,令人唏噓不已。

蘇聯隊在國際數學奧林匹克競賽的排名歷史

在蘇聯解體後,俄羅斯隊也稱得上一支強隊(http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=RUS),不過只拿到了兩次冠軍,跟中美相比就有顯著的差距了。

俄羅斯隊在國際數學奧林匹克競賽的排名歷史

有一點值得注意的是,美國隊雖然總共只拿過8次冠軍,但其中4次就是在最近的5年中拿的。具體而言,從2015年到2019年的5年中,美國隊驚人地拿了4次第一,只有2017年是第四。由於這個第四卡在中間,使得美國隊的連續奪冠紀錄只有兩次,連三連冠都還沒到。不過無論如何,這五年的美國隊就像開掛一樣,創造了歷史最佳成績,這是非常了不起的。

更加有趣的是,在這五年的開掛期間,美國隊的總教練都是同一個人,就是我的朋友、卡內基梅隆大學數學系的羅博深教授。你猜,我們是因為什麼認識的?當然是因為拍科技袁人節目了!

羅博深

我和羅博深的對話是在5月30日做的,視頻預計將在7月31日上線,敬請期待。下面,我們先來看看這屆競賽以及IMO整體的一些基本情況。

一個基本的問題是,國家的數學競賽成績和數學研究水平之間是什麼樣的關係呢?

整體而言,兩者之間顯然存在正相關。例如中國、美國、俄羅斯、德國、韓國、匈牙利在IMO中都拿過冠軍,稱得上競賽強國,而這些國家的數學研究水平也都不錯。

不過,這個相關程度並不是很強。例如法國和英國都是歷史悠久的數學強國,出過許多偉大的數學家,但在競賽中卻一次冠軍都沒拿過,這次的排名分別是25和20。

再仔細看的話,中國在數學競賽中成績超群,但在數學研究中就離頂尖很遠了。我的一些數學家朋友告訴我,在數學研究中,現在是美國最強,法國、俄羅斯、德國、英國緊隨其後,再往下才是中國、巴西、日本、義大利等等。

你也許會感到很詫異:巴西?其實巴西的數學真的不可小覷,他們的數學競賽每年有1800萬學生參加,號稱世界最大,而且2014年有一位巴西數學家阿圖爾·阿維拉(Artur Avila)獲得了菲爾茲獎。中國本土還從來沒有數學家得到菲爾茲獎呢!

阿圖爾·阿維拉

在大家熟悉的國際頂尖華人數學家中,陳省身沒有得菲爾茲獎,得了沃爾夫獎,國際數學聯合會專門設立了「陳省身獎」作為國際數學界最高級的終身成就獎。

陳省身

丘成桐是第一個獲得菲爾茲獎的華人,不過他是以美國籍得的。

丘成桐

陶哲軒是第二個獲得菲爾茲獎的華人,不過他是出生在澳大利亞的華裔。

陶哲軒

張益唐的成果配得上菲爾茲獎,不過他的年齡超過40歲了,不能得這個獎。

張益唐

所以大家要努力哦,你還有機會成為第一個中國本土獲得菲爾茲獎的數學家!

以上的這些討論,可以讓我們認識到,數學競賽是重要的,但遠不是最重要的。它可以作為一個引子,引導大家關心數學、熱愛數學,就像莊子說的「得魚忘筌」。明白了這些,就可以以平常心看待競賽了。

好,下面我們來具體看看這屆競賽的情況。

首先來看一下考題,在IMO的網站可以下載到各種語言的版本(http://www.imo-official.org/problems.aspx)。考試分為兩天,每天3道題,做4個半小時,總共6道題。每道題7分,滿分42分。

2019年國際數學奧林匹克競賽第一天題目

2019年國際數學奧林匹克競賽第二天題目

在這屆的考題中,有些似乎連看懂題意都不容易,例如第2題和第6題這兩道幾何題。也有些看起來似乎很容易理解,例如代數的第1題和數論的第4題。

但無論哪道,找到思路都是很不容易的。即使是表面最親民的第1題,也很可能在寫寫畫畫一大堆之後無法前進。我就是這樣,推了不少,但在看網友寫的答案之前,還是找不到辦法確定函數的形式。差可告慰的是,在看了答案之後,仔細琢磨一下就理解了。

2019年國際數學奧林匹克競賽第1題網友解答

有興趣的觀眾,可以仔細去推演。在這裡我解釋一句:關鍵在於看出,這個函數在任意的n、n + 1和n + 2這相鄰三點的取值構成一個等差數列,所以這個等差數列的公差即f(n + 1) - f(n)是一個常數,因此這個函數只能是線性函數。一旦想通這一點,後面的推導就都是順理成章的了。

你看,這道題在本質上不難嘛。對於高手來說,應該算是送分題。事實上,IMO網站給出了每道題的得分分布圖(http://www.imo-official.org/year_statistics.aspx?year=2019)。

2019年國際數學奧林匹克競賽題得分分布圖

在參賽的621位選手中,有超過一半的382人在第1題上得到了滿分7分。由此可見,IMO也和平時見到的考試一樣,上來先會出一些送分題,穩定一下考生的心情。不過即使對於這樣一道送分題,也有73人得了0分。這讓我們說什麼好呢?如果你太菜了,那麼老師再怎麼努力地想把分數送給你,也送不成啊!

其他題目的得分分布,跟第1題就大相逕庭。最有趣的是第3題和第6題,它們分別是第一天和第二天的壓軸題目。第3題有520人吃了鴨蛋,第6題更是有558人一分沒得!

第3題和第6題得到滿分的人,分別只有28人和27人。顯然,奪冠的關鍵就在這最難的兩道題。

羅博深跟我說的非常有趣的一點,就是個人奪金與國家奪冠之間的關係。如果你只想拿塊金牌的話,那麼你做五道題就夠了。咦,什麼叫「只」想拿塊金牌?

因為奧賽的金牌並不是根據絕對成績來發的,而是根據相對成績,只要你排名在前50位左右,就可以拿到金牌。例如這次競賽總共有52人獲得金牌,門檻是在滿分42分中得到31分。你看,是不是做五道題就夠了?

2019年國際數學奧林匹克競賽個人成績分布

以前美國隊多年不能奪冠,一個原因就是隊員們覺得自己反正也贏不了,做對五道就夠了,第六道直接放棄。2015年美國隊奪冠,就是因為那屆隊員特別想贏,在做完五道題後還去竭盡全力做最難的。他們贏了以後,後面的幾屆看到自己真的能贏,鬥志也被點燃了,從此也竭盡全力做所有的題。

由此可見,今年的中美並列第一,是雙方的能力、技巧、鬥志旗鼓相當的結果。讓我們為兩國的隊員喝彩!

下面,我們來看一下這屆競賽的結果。

在國家層面(http://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2019),中國和美國以227分並列第一。然後是韓國,以一分之差位列第三。

2019年國際數學奧林匹克競賽韓國隊合影

第四是朝鮮,187分。我們祝賀朝鮮追平自己的歷史最好成績(它在2015年也得了第四),不過它的得分跟前三位就有明顯的差距了。第五到第十位分別是泰國、俄羅斯、越南、新加坡、塞爾維亞和波蘭。

2019年國際數學奧林匹克競賽前十名國家

在個人層面(http://www.imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2019&column=total&order=desc),這屆競賽一共有6人拿到42分的滿分,其中兩人來自中國,兩人來自美國,另外兩人分別來自韓國和波蘭。

2019年國際數學奧林匹克競賽前十名個人

中國隊的6名選手都拿到了金牌,美國隊和韓國隊也是。這裡一個有趣的問題是,美國隊的6人中有5人是華裔,他們的總教練和副教練也是華裔。因此,有不少人開玩笑說美國隊是中國二隊,也有不少人在抱怨所謂人才外流的問題。

我想說的是,這些都不重要,不要讓負能量沾染自己。正能量的思維是,美國隊以及其他很多參賽隊伍中有大量的華人,這說明華人是完全可以搞好數學的。我們應該更加努力,早日把中國建設成頂尖的數學強國。

還有一些有趣之處,出現在榜單的末尾。在參賽的112個國家和地區中,有3個國家的總分是0!這3個並列倒數第一的國家是:安哥拉、肯亞和阿聯。


2019年國際數學奧林匹克競賽排名最後的11個國家

在這三國當中,尤其特別的是阿聯,因為它派出了一個完全由女生組成的隊伍(2019IMO開幕式視頻及最新照片來啦!竟然有個國家隊全員女生!),在賽前吸引了很多關注。我看到這則消息時感到很奇怪:這個國家的男生到哪裡去了?難道他們的數學都這麼差嗎?沒想到結果是,這6位女生一分未得。

2019年國際數學奧林匹克競賽阿聯隊合影

不過如大家所知,有些宗教國家平時嚴禁女人拋頭露面,甚至還有宗教警察四處巡視。因此這次讓女生出來參賽,總是一件值得鼓勵的事。讓我們希望,數學之光和自由之光普照世界。

如果前面講的競賽題讓你「不明覺厲」,那麼下面,我們就來介紹一個簡單而精妙的數學定理,而且它還很有實用價值。為什麼在這裡提到這個定理呢?因為這個定理是我第一次見到羅博深的時候,他正在講的,講給上海市延安初級中學的師生們。

這個定理叫做皮克定理(Pick’s theorem),它說的是:在一個平面上標出那些橫縱坐標都為整數的點,把這些點叫做格點。以任意多個格點作為頂點,做一個多邊形,那麼這個多邊形的

面積 = 內點數 + 邊界點數/2 - 1。

也就是說,數出有多少個格點完全包含在多邊形中,每個這樣的格點貢獻1的面積。再數出有多少個格點在多邊形的邊界上,每個這樣的格點貢獻1/2的面積。把兩部分貢獻加起來,再減去1,就得到了多邊形的面積。

舉個例子,在下面這個四邊形中,內點有7個,邊界點有8個,因此它的面積等於7+ 8/2 - 1 = 10。是不是很方便啊?

皮克定理

我跟羅博深交流的時候,說我們在物理和化學中研究晶體結構時,就經常用類似的方法。如何確定一個晶胞中包含多少個原子呢?例如下圖所示的,體心立方和面心立方的晶胞。

體心立方和面心立方晶胞

簡便的算法是,一個原子如果位於一個晶胞之內,那麼就把它完全歸於這個晶胞。一個原子如果位於一個面上,即被兩個晶胞分享,那麼就給每個晶胞1/2個原子。一個原子如果位於一條棱上,即被四個晶胞分享,那麼就給每個晶胞1/4個原子。一個原子如果位於一個角上,即被八個晶胞分享,那麼就給每個晶胞1/8個原子。基本的思想就是「均分」。

根據這種算法,你很快就會發現,雖然看起來眼花繚亂,但體心立方只包含2個原子,面心立方只包含4個原子。這就是跟皮克定理的一個有趣的類比。

因此,你能從直覺看出皮克定理是正確的嗎?你能從直覺看出這個定理可以用數學歸納法證明嗎?

最後,我們來預報一下。圍繞著數學與教育,我和羅博深討論了許多大家關心的問題,例如:

你是如何讓美國隊的成績突飛猛進的?

個人如何學好數學?

如何激發學生對數學的興趣?

真正熱愛數學的學生,應該怎樣做?

如何看待其他的數學教育方法,例如可汗學院?

如何看待其他奧賽強隊?

有些數學強國在奧賽中成績並不突出,例如法國,對此應該怎樣看待?

包括中美在內,許多國家的數學教育難度都在下降,對此應該如何看待?

如何在媒體上傳播科學,扭轉媒體對科學家的刻板印象?

……

再次預告,我們的對話將在7月31日上線,敬請期待(預告片見https://www.bilibili.com/video/av60023973)。在這裡我可以說的是,羅博深的許多回答完全不在常見的套路之內,是非常真誠的真知灼見。如果各國像這樣熱愛科學與教育的專業人士多一些,將是世界之大幸。

我們聊了許多問題,不過有一個問題是我們完全沒有提的:如何看待近年來美國隊的成績上升和中國隊的成績下降?在我們看來,這個問題並不重要。

從宇宙的視角看來,地球上這些國家之間的競爭就像雞蟲之爭,不值一提。人類有沒有掌握像黎曼猜想、孿生質數猜想這樣的思想之光,才是真正有意義的,決定了人類在宇宙中的地位。

真正重要而有趣的,是數學本身!

背景簡介:袁嵐峰,中國科學技術大學化學博士,中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家研究中心副研究員,科技與戰略風雲學會會長,青年科學家社會責任聯盟理事,中國無神論學會理事,安徽省科學技術協會常務委員,微博@中科大胡不歸,知乎@袁嵐峰(https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8)。

責任編輯:吳啟然


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